INDEX PRINCIPAL

 RESULTATS EN FENETRE

 PRESENTATION

 DESCRIPTION DU TRAVAIL

 PRESENTATION DE MOLNYA

 CARACTERISTIQUES ORBITALES DE MOLNYA

SATELLITE PHASE

EXPLICATION DU PHASAGE

INCLINAISON i = 63°4 ?

DERIVES DUES A J2

PERIGEE HAUT

FREINAGE ATMOSPHERIQUE

DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX

INCLINAISON ORBITALE

ASCENSION DROITE DE LA LIGNE DES NOEUDS

ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

LIGNE DES NOEUDS

LIGNE VERNALE

MOMENT CINETIQUE REDUIT

 CALCULS DES VITESSES (APOGEE ET PERIGEE)

LIGNE DES NOEUDS

 CONSTRUCTION RAISONNEE DE LA TRACE

TRACE NAVETTE US

TRACE SOL DE MOLNYA

ANOMALIE EXCENTRIQUE

FORMULES DU PARAMETRAGE

 ETUDE DE TRACES DIVERSES

	EXECUTION D'UNE SIMULATION


PRESENTATION
EA1		Auteur GUIZIOU Robert


DESCRIPTION DU TRAVAIL

   Ce bureau d'études est destiné :

 A illustrer de manière concrète la trace au sol des points survolés par un satellite.

 A visualiser cette trace sur une carte du monde.

 A utiliser un programme de calcul pour vérifier les calculs à la main.

 A s'exercer aux techniques hypertexte et pop-up, de consultation d'aides en ligne. A naviguer dans le problème avec des boutons et la souris.

 A travailler en interaction avec le logiciel qui proposera des conseils ou des résultats.


PRESENTATION DE MOLNYA

  L'Union Soviétique, dans les années 1970, a développé un réseau très important de satellites domestiques, non géostationnaires destinés aux télécommunications.

  Ces satellites sont à usage domestique et présentent l'inconvénient de nécessiter des stations sol asservies à la position du satellite.

  A l'époque les soviétiques n'avaient pas encore lancé de géostationnaire, pour des raisons économiques.

  Partant de bases hautes en latitude, la mise en orbite coûte cher en corrections d'inclinaison.

  Nous nous intéressons plus particulièrement à la génération des MOLNYA, parce que la trace des points survolés est très particulière et surprenante.


CARACTERISTIQUES ORBITALES DE MOLNYA
I CARACTERISTIQUES ORBITALES

orbite phasée	                   paramètres orbitaux	                       perturbations orbitales

Les soviétiques souhaitent une orbite phasée, telle que toutes les 2 périodes le satellite se retrouve au dessus du même lieu de la Terre avec la périodicité la plus petite possible. A  t = 0h, heure conventionnelle, Molnya est au périgée à 497 km du sol, et dans le méridien de Greenwich et à une latitude de- 63°4 . 1°) Quel est l'intérêt du phasage?  2°) Pourquoi les perturbations orbitales obligent-elles à une inclinaison de 63°.4, qui convient parfaitement à la mission? Pourquoi un périgée aussi haut en altitude?  Voir taux de descente journalier 3°) Montrer que l'argument nodal du périgée vaut ω=3π/2 (utiliser la formule sinλs=sinisin(θ+ω)


ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

La relation

sin(λs)=sini sin(θ+ω)

appliquée au périgée donne facilement, vues les données: ω=270°

La valeur de ω=270° et une dérivée nulle dω/dt=0 assurent une position de la ligne des noeuds toujours perpendiculaire au grand axe. L'apogée de l'orbite est donc toujours au dessus des hautes latitudes.


FREINAGE ATMOSPHERIQUE

Le lecteur pourra établir en partant du théorème de l'énergie cinétique que le taux de descente est:

où

ρ(Z) est la masse volumique de l'air à l'altitude Z

ρ(250 km)=10 E(-10) kg/m3      ρ(800 km)=3 E(-14) kg/m3

m la masse du satellite  SPOT m=1800 kg

S la surface de référence offerte à l'air  SPOT S=12 m²

Cd un coefficient aérodynamique  Cd=2.7

a le rayon du cercle décrit.

Vous pourrez vérifier qu'en orbite circulaire:

 A 250 km  Le satellite descend de 8  km/jour

 A 800 km  Le satellite descend de 2.4 m/jour


Explication du phasage

La période sidérale de la terre est T = 23 h 56 mn 4 s

T = 86164 s.

Avec une période moitié de celle de la Terre, le satellite Molnya, phasé repasse toutes les 2 périodes au dessus des mêmes points de la Terre créant ainsi un rythme régulier de rendez-vous compatible avec une application "télécom" qui nécessite des rendez-vous réguliers et des heures de travail régulières.


INCLINAISON i = 63°4 ?

Le choix de l'inclinaison 63°.4 annule  la dérive dans le plan orbital de la  ligne  des apsides ( grand axe de l'ellipse) sous l'effet de l'aplatissement terrestre (J2 )

Voir perturbations orbitales pour constater que la dérivée de ω s'annule pour cette valeur de i fréquemment utilisée par les soviétiques


PERIGEE HAUT

  Le périgée a été placé relativement haut en altitude pour éviter une usure de l'orbite par le frottement atmosphérique, usure qui se traduit par une décrois sance du grand axe et donc une diminution de la période. Le phasage serait donc compromis.

De plus une maintenance de l'orbite demanderait de fréquentes corrections de a en particulier, ce qui coûterait cher en carburant.


DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

Figure des paramètres orbitaux

On appelle ainsi un ensemble de 6 paramètres et d'une date permettant de repérer la position d'un satellite sur son orbite à une date quelconque.

1 -  a: demi grand axe de la conique

2 -  e: excentricité

3 -  i: inclinaison orbitale

4 − ω: argument nodal du périgée

5 − Ω: Ascension droite ou longitude vernale de la ligne des noeuds

6 -  le sixième paramètre est plus varié. Son choix dépend de   	l'étude menée, il peut avoir plusieurs aspects:

tp : date de passage au périgée

ϕo: Anomalie excentrique à une date to

θo : Anomalie vraie à une date to

Mo=ϕo-esinϕo : Anomalie moyenne à une data to

Toutes ces valeurs sont liées par les relations classiques:

La donnée de l'instant t fixera ainsi définitivement la position du satellite

sur l'orbite :


FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX


  INCLINAISON ORBITALE

C'est l'angle entre soit:

Le plan équatorial et le plan orbital

Les vecteurs K et W (ou h )

mesuré positivement de 0 à 180° autour

du vecteur nodal n.

i=0 orbite équatoriale²

i=7°.2 Orbite GTO Ariane

i=90°: orbite polaire


 ASCENSION DROITE DE LA LIGNE DES NOEUDS

Ω est l'angle entre la ligne vernale et la ligne des noeuds n de l'orbite, mesuré de 0 à 360° positivement autour de l'axe K.Ce paramètre est capital pour positionner l'orbite par rapport aux étoiles.


 ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

ω est l'angle entre la ligne des noeuds n  et le vecteur P ou e qui pointe le périgée de l'orbite, mesuré de 0 à 360° positivement  autour de l'axe W qui porte le moment cinétique réduit h.

Ce paramètre est capital pour positionner le grand axe de l'orbite par rapport aux étoiles.


 LIGNE DES NOEUDS

On nomme ainsi l'intersection n du plan équatorial et du plan orbital. Cette ligne passe par les noeuds:

N ascendant lorsque le satellite passe de l'hémisphère sud au nord

N' noeud descendant du nord au sud.

Le vecteur nodal n pointe le noeud ascendant.


 LIGNE VERNALE

On nomme ainsi le vecteur I ou γ qui pointe le soleil depuis la terre lorsque le soleil passe au dessus de l'équateur à l'équinoxe de printemps.

Ce vecteur est supposé fixe, mais en réalité il précessionne de 50" d'arc par an autour de l'axe nord écliptique, dans le sens rétrograde (Précession de Hipparque).


 MOMENT CINETIQUE REDUIT

On nomme ainsi le vecteur constant:

Il est normal au plan orbital et induit le sens du mouvement sur l'orbite.


DERIVES DUES A J2

On rappelle avec des notations classiques, le potentiel terrestre tenant compte de l'aplatissement polaire. (r rayon vecteur, λ latitude)

Un calcul moyenné, des perturbations dues à J2 sur les paramètres orbitaux ω, Ω, Μ donne les effets séculaires suivants:

NB:- Les paramètres a, e, i ne sont pas affectés de manière séculaire par la perturbation due à J2


SATELLITE PHASE

  Un satellite de la Terre est dit phasé lorsque le rapport de sa période orbitale à celle de  la Terre est un nombre rationnel.

Période satellite/Période terre =  p/q      où p et q sont des entiers.

 Conséquence:

Lorsque la Terre fait p tours autour de l'axe Nord-Sud et le satellite q tours sur son orbite, la Terre et le satellite se retrouvent dans la même position relative.

 Le lieu des points survolés se referme, et le satellite survole à nouveau les mêmes régions.

 Rappelons

La période sidérale de la Terre est de 23 h 56 mn 4 s = 86164 s à ne pas confondre avec:

Le jour solaire moyen de 24 h = 86400 s.

 Indiquons ici que si à un instant t le satellite S survole le point de la Terre de coordonnées

L(t)  λ(t)

à l'instant t+T  il survolera, du fait du mouvement de la Terre d'Ouest en Est, le point de coordonnées

L(t)+ΔL, λ(t)

où ΔL = ωT*Tsatellite ,  ωT est la vitesse angulaire de la Terre autour de l'axe Nord-Sud.

 Ainsi pour des périodes successives les divers lieux des points survolés se décalent vers l'Ouest de la quantité ΔL en longitude.

 Seule une période est donc utile à connaître.


CALCULS DES VITESSES (APOGEE ET PERIGEE)
VITESSES A L'APOGEE ET AU PERIGEE

μT =39.86 e4 km3s-2           RT = 6378 km                  T = 23 h 56 mn 4 s =86164 s

3°) Calculer la période T, l'excentricité e, l'altitude de l'apogée, la vitesse Vp au périgée et Va à l'apogée. 4°) Comment sont placés les vecteurs vitesses Vp et Va par rapport à la ligne des noeuds, au plan équatorial et  l'axe Nord-Sud de la Terre?    5°) En considérant que les 2 vitesses Vp et Va  comme des vitesses résultant d'un mouvement de rotation apparent de  Molnya autour de l'axe Nord-Sud, calculer les deux vitesses angulaires ωp et ωa dans la rotation relative autour de l'axe des pôles.    6°) Comparer à ωT commentez! Quel est le but profond recherché pour les télécommunications?


RESULTAT DE 3°
RESULTATS  DE 3°

T=43082 s	a=26562 km

Za=39871 km	e=0.7412

Vp=10047 m/s	Va=1494 m/s


RESULTAT  DE 4°

Les vitesses à l'apogée et au périgée sont parallèles au plan équatorial car parallèles à la ligne des noeuds qui est contenue dans le plan équatorial et surtout perpendiculaire au grand axe de l'orbite (pour le cas de Molnya)


RESULTAT DE 5°

 On considére que les vitesses résultent d'un mouvement circulaire autour de l'axe des pôles

A l'apogée avec une vitesse angulaire ωa et un rayon ra*cosi autour de l'axe N-S

Au périgée avec une vitesse angulaire ωp et un rayon rp*cosi.autour de l'axe N-S

Le calcul donne:

ωa = 7.214 e-5 rd/s       ωp = 3.264 e-3 rd/s   et pour la terre ωT=7.292 e-5 rd/s.


Résultat de 6°
RESULTAT DE 6°

Avec une vitesse angulaire au périgée très grande par rapport à celle de la terre, Molnya ne reste que très peu dans l'hémisphère sud.

La vitesse à l'apogée est quasiment identique à celle de la terre, donc Molnya se comporte comme un faux "géostationnaire", au dessus de l'URSS. De plus comme cette vitesse angulaire est un peu plus faible que ωT, Molnya donnera l'impression dans son mouvement relatif à la terre, de dériver vers l'Ouest, avant de repartir vers l'Est. De ce fait Molnya restera plus longtemps au dessus de la même région.


LIGNE DES NOEUDS
LIGNE DES NOEUDS ( Cas général)


POSITIONS DES VITESSES


CONSTRUCTION RAISONNEE DE LA TRACE

On souhaite matérialiser sur une carte du monde (distribuée à cet effet, ) le lieu des points survolés ou encore trace au sol. En réfléchissant au mouvement du plan méridien qui contient Molnya autour de la Terre. Voir un exemple navette US 7°) Calculez les positions longitude  et la latitude à:      t=0 h        t = T/2           t = T          t = 3T/2          t = 2T 8°) Pour préciser un peu mieux le lieu , vous calculerez les dates de survol des noeuds de l'orbite grâce à l'anomalie excentrique. Voir paramétrage Déduire alors les longitudes de ces 2 points et constatez que molnya reste dans l'hémisphère nord 11h sur 12.


TRACE NAVETTE US


TRACE SOL DE MOLNYA


CONSEILS

Essayez d'évaluer les rotations absolues d'un méridien lié à molnya et du méridien de Greenwich, pour ces temps simples par rapport au jour sidéral.

Vous aurez ainsi facilement la position relative de Molnya par rapport à Greenwich. pour ce qui de la latitude, essayez de suivre Molnya sur son orbite.


RESULTAT 7°

Positions toutes les demi périodes:

t=0 h	latitude -63°.4	  longitude 0°

t=6 h	latitude 63°.4 	  longitude 90°

t=12 h	latitude -63°.4	  longitude 180°

t=18 h	latitude 63°.4 	  longitude -90°

t=24 h	latitude -63°.4 	  longitude 0°


RESULTAT 8°

Temps de premier survol du noeud ascendant:

 Date      27 mn 15 s               Longitude=83°,17

Temps de premier survol du noeud descendant:

Date     11 h 30 mn 47 s	  Longitude=96°,83

On constate alors que Molnya passe 11 h sur 12 d'une période dans l'hémisphère nord, ce qui est très intéressant toutes les 24 heures pour les soviétiques .

Un réseau complet nécessite naturellement un nombre important de satellites Molnya qui se relaient régulièrement au dessus des diverses régions de l'URSS.


ANOMALIE EXCENTRIQUE


FORMULES DU PARAMETRAGE

ϕ est l'anomalie excentrique variant de 0 à 2π qui paramètre de manière univoque une ellipse.


OBSERVATION DE TRACES DIVERSES

Utilisant le logiciel, vous pourrez tenter d'étudier les influences séparées de:

	La période sur le phasage ou le balayage. par exemple en modifiant peu une orbite phasée.  L'argument nodal ω du périgée sur la vitesse de déplacement de la trace
 L'inclinaison sur la bande des latitudes couvertes. Vous essaierez aussi une orbite héliosynchrone de type SPOT ou HELIOS, avec i=98.7 et a=7200 km.

 L'excentricité sur la forme de la trace avec en particulier des boucles possibles ou des points de rebroussement.


RESULTATS RASSEMBLES
RESULTATS

La relation

sin(λs)=sini sin(θ+ω)

appliquée au périgée donne facilement, vues les données: ω=270°

DERIVES DUES A J2 ___________________

RESULTATS  DE 3°  ___________________

T=43082 s	a=26562 km

Za=39871 km	e=0.7412

Vp=10047 m/s	Va=1494 m/s

RESULTAT  DE 4° ___________________

Les vitesses à l'apogée et au périgée sont parallèles au plan équatorial car parallèles à la ligne des noeuds qui est contenue dans le plan équatorial et surtout perpendiculaire au grand axe de l'orbite.

 RESULTAT DE 5° ___________________

 On considére que les vitesses résultent d'un mouvement circulaire autour de l'axe des pôles

A l'apogée avec une vitesse angulaire ωa et un rayon ra*cosi

Au périgée avec une vitesse angulaire ωp et un rayon rp*cosi.

Le calcul donne:

ωa = 7.214 e-5 rd/s       ωp = 3.264 e-3 rd/s   et pour la terre ωT=7.292 e-5 rd/s.

RESULTAT DE 6° ___________________

Avec une vitesse angulaire au périgée très grande par rapport à celle de la terre, Molnya ne reste que très peu dans l'hémisphère sud.

La vitesse à l'apogée est quasiment identique à celle de la terre, donc Molnya se comporte comme un géostationnairte, mais au dessus de l'URSS. De plus comme cette vitesse angulaire est un peu plus faible que ωT, Molnya donnera l'impression dans son mouvement relatif à la terre, de dériver vers l'Ouest, avant de repartir vers l'Est. De ce fait Molnya restera plus longtemps au dessus de la même région.

RESULTAT 7° ___________________

Positions toutes les demi périodes:

t=0 h	latitude -63°.4	  longitude 0°

t=6 h	latitude 63°.4 	  longitude 90°

t=12 h	latitude -63°.4	  longitude 180°

t=18 h	latitude 63°.4 	  longitude -90°

t=24 h	latitude -63°.4 	  longitude 0°

PARAMETRAGE___________________

ϕ est l'anomalie excentrique variant de 0 à 2π qui paramètre de manière univoque une ellipse.


RESULTAT 8° ___________________

Temps de premier survol du noeud ascendant:

 Date      27 mn 15 s               Longitude=83°,17

Temps de premier survol du noeud descendant:

Date     11 h 30 mn 47 s	  Longitude=96°,83

On constate alors que Molnya passe 11 h sur 12 d'une période dans l'hémisphère nord, ce qui est très intéressant toutes les 24 heures pour les soviétiques .

Un réseau complet nécessite naturellement un nombre important de satellites Molnya qui se relaient régulièrement au dessus des diverses régions de l'URSS.